랭크 (선형대수학)

행렬의 랭크는 그 행렬의 열벡터들로 생성된 벡터 공간의 차원을 의미한다. 이는 동시에 행렬의 행벡터들로 생성된 벡터 공간의 차원과도 같다. 따라서 행렬의 랭크는 열공간의 차원이자 행공간의 차원으로 정의되며, 이 값을 통해 행렬이 포함하는 선형독립 정보의 양을 수치화할 수 있다.

구체적으로, 주어진 행렬의 열벡터들 중에서 선형독립인 최대 벡터의 개수가 그 행렬의 랭크이다. 이 정의는 행벡터들에 대해서도 동일하게 적용된다. 예를 들어, 3개의 열벡터를 가진 행렬에서 이들 중 오직 2개만이 선형독립이라면, 그 행렬의 랭크는 2가 된다. 이는 행렬이 표현할 수 있는 공간의 자유도가 2차원임을 의미한다.

랭크는 행렬을 행 사다리꼴로 변환하여 계산하는 것이 일반적이다. 가우스 소거법을 통해 행렬을 행 사다리꼴 형태로 만들었을 때, 0이 아닌 성분을 가진 행(또는 열)의 개수가 바로 행렬의 랭크가 된다. 이 방법은 계산상 효율적이며, 연립일차방정식의 해를 구하는 과정과 밀접하게 연관되어 있다.

행렬의 랭크는 선형사상의 랭크 개념과 직접적으로 연결된다. 행렬을 선형변환으로 해석할 때, 그 변환의 상공간의 차원이 바로 행렬의 랭크에 해당한다. 이처럼 랭크는 행렬의 구조적 특성을 이해하고, 가역행렬의 판별, 연립방정식 해의 존재성 분석 등 선형대수학의 다양한 문제를 해결하는 데 핵심적인 역할을 한다.

행렬의 랭크 개념은 벡터 공간 사이의 선형사상으로 자연스럽게 확장된다. 두 유한 차원 벡터 공간 V와 W 사이의 선형사상 T: V → W가 주어졌을 때, T의 랭크는 상공간 T(V)의 차원으로 정의된다. 즉, rank(T) = dim(T(V))이다. 이는 선형사상 T가 만들어내는 상의 규모를 측정하는 척도가 된다.

이 정의는 행렬의 랭크와 완전히 일치한다. 표준기저에 대한 행렬 표현이 A인 선형사상 T_A의 경우, T_A의 랭크는 행렬 A의 랭크와 같다. 구체적으로, 선형사상 T의 상공간은 정의역 V의 기저를 T로 보낸 상들로 생성되며, 이 상들의 집합이 바로 행렬 A의 열벡터에 해당한다. 따라서 열벡터들로 생성된 열공간의 차원이 곧 선형사상의 랭크가 된다.

선형사상의 랭크는 그 사상의 정보를 보존하는 능력을 반영한다. 랭크가 클수록 사상은 더 많은 정보를 공역으로 전달한다고 볼 수 있다. 특히, 전사인 선형사상은 그 랭크가 공역 W의 차원과 같다. 반면, 랭크가 0인 사상은 모든 원소를 영벡터로 보내는 영사상이다.

이 관점은 랭크-널리티 정리를 통해 더욱 명확해진다. 이 정리에 따르면, 정의역 V의 차원은 선형사상 T의 랭크와 널리티(핵의 차원)의 합과 같다. 이 관계는 선형사상이 정보를 보존하는 부분(랭크)과 정보를 잃어버리는 부분(널리티)으로 정의역을 분해한다는 깊은 의미를 담고 있으며, 선형방정식의 해 구조를 이해하는 데 핵심이 된다.

행렬의 랭크는 여러 중요한 성질을 가진다. 가장 기본적인 성질은 어떤 행렬의 행공간의 차원과 열공간의 차원이 항상 같다는 것이다. 따라서 행렬의 랭크는 행벡터들 중 선형독립인 최대 벡터의 개수와도 같고, 열벡터들 중 선형독립인 최대 벡터의 개수와도 일치한다. 이는 행렬을 행 사다리꼴로 변환했을 때 0이 아닌 행의 개수와 0이 아닌 열의 개수가 같다는 사실로부터 직접 확인할 수 있다.

행렬의 랭크는 행렬에 기본 행 연산이나 기본 열 연산을 적용해도 변하지 않는다. 이 성질은 가우스 소거법을 통한 랭크 계산의 이론적 근거가 된다. 또한, 두 행렬의 곱의 랭크는 각 행렬의 랭크보다 클 수 없다. 즉, 임의의 행렬 A와 B에 대해 rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B))가 성립한다. 이는 행렬 곱셈이 선형변환의 합성에 해당한다는 관점에서 이해할 수 있다.

행렬의 전치행렬을 취해도 랭크는 보존된다. 따라서 rank(A) = rank(A^T)가 항상 성립한다. 또한, 어떤 가역행렬 P와 Q에 대해 rank(PAQ) = rank(A)가 성립한다. 이는 행렬에 가역행렬을 곱하는 것이 기저 변환에 해당하며, 벡터 공간의 차원을 바꾸지 않기 때문이다. 이러한 성질들은 랭크를 다룰 때 유용하게 활용된다.

랭크 정리는 행렬의 랭크와 그와 관련된 다른 차원들 사이의 관계를 명확히 보여주는 선형대수학의 핵심 정리이다. 이 정리는 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환 또는 행렬에 대해, 그 변환의 랭크와 널 공간의 차원(즉, 널리티)의 합이 정의역의 차원과 같음을 서술한다.

구체적으로, 행렬 A가 m × n 행렬일 때, 랭크 정리는 다음 등식을 만족함을 보인다.

정리는 rank(A) + nullity(A) = n 이 성립함을 말한다. 이는 선형 변환 T: V → W에 대해, dim(Im T) + dim(Ker T) = dim(V) 로 일반화하여 표현할 수 있다.

이 정리는 연립 일차 방정식의 해의 구조를 이해하는 데 필수적이다. 예를 들어, 계수 행렬 A의 랭크가 미지수의 개수 n보다 작다면, 널리티는 0보다 크게 되어 무수히 많은 해(자유변수를 가진 해)가 존재함을 의미한다. 반대로, 랭크가 n과 같다면 널리티는 0이 되어 해가 유일하게 존재하거나(동차 방정식의 경우 자명해만 존재) 해가 없을 수 있다. 따라서 이 정리는 해의 존재성과 유일성을 판별하는 이론적 근간을 제공한다.

가우스 소거법은 행렬의 랭크를 계산하는 가장 기본적이고 효과적인 방법 중 하나이다. 이 방법은 주어진 행렬에 기본 행 연산을 반복 적용하여 행 사다리꼴 또는 기약 행 사다리꼴 형태로 변환하는 과정을 포함한다. 행렬이 행 사다리꼴 형태가 되면, 0이 아닌 성분을 가진 행의 개수를 세는 것으로 랭크를 쉽게 결정할 수 있다. 이는 행 사다리꼴에서 0이 아닌 각 행이 선형독립인 행벡터에 해당하기 때문이다.

가우스 소거법을 통한 랭크 계산은 행렬의 행공간을 변화시키지 않는다는 점에 기초한다. 기본 행 연산은 행공간을 생성하는 벡터 집합을 바꾸지만, 그 공간 자체의 차원, 즉 랭크는 보존한다. 따라서 원래 행렬의 랭크는 변환된 행 사다리꼴 행렬의 랭크와 정확히 일치한다. 이 방법은 열공간의 차원을 직접 구하는 것보다 계산상 더 편리한 경우가 많다.

실제 계산에서는 행렬을 기약 행 사다리꼴까지 변환하지 않고, 행 사다리꼴 형태에서 피벗 열의 개수를 확인하는 것으로 충분하다. 피벗 열은 각 행에서 가장 왼쪽에 있는 0이 아닌 성분이 위치한 열을 의미하며, 이 피벗 열의 개수가 바로 행렬의 랭크가 된다. 이 과정은 선형대수학 소프트웨어나 프로그래밍 라이브러리에서 행렬의 랭크를 구하는 표준 알고리즘으로 널리 사용된다.

가우스 소거법은 랭크 계산뿐만 아니라, 연립일차방정식의 해를 구하거나 역행렬의 존재성을 판별하는 데에도 핵심적인 역할을 한다. 특히, 계수행렬과 확대행렬의 랭크를 비교하여 해의 존재성과 유일성을 판정하는 크라메르 법칙이나 랭크 정리와 같은 중요한 개념들도 이 계산 방법과 깊이 연관되어 있다.

행렬의 랭크를 계산하는 방법 중 하나는 행렬식을 이용하는 것이다. 이 방법은 특히 정사각행렬에 대해 유용하다. 행렬의 랭크는 그 행렬의 선형독립인 행 또는 열의 최대 개수와 같다. 따라서, 행렬에서 특정 크기의 정사각 부분행렬을 선택하여 그 행렬식이 0이 아닌지를 확인함으로써 선형독립성을 판단할 수 있다.

구체적으로, 어떤 행렬의 랭크가 r이라면, 그 행렬은 r x r 크기의 행렬식이 0이 아닌 부분행렬을 적어도 하나 포함하며, (r+1) x (r+1) 크기 이상의 모든 부분행렬의 행렬식은 0이다. 따라서, 가능한 가장 큰 크기의 정사각 부분행렬을 찾아 그 행렬식이 0이 아닌지를 검사하면 랭크를 결정할 수 있다. 예를 들어, 3x4 행렬에서 3x3 부분행렬 중 하나라도 행렬식이 0이 아니면 랭크는 최소 3이다. 모든 3x3 부분행렬의 행렬식이 0이라면, 2x2 부분행렬을 검사하여 랭크를 2 또는 그 이하로 좁혀나간다.

이 방법은 이론적으로 명확하지만, 큰 행렬에 대해서는 모든 가능한 부분행렬의 행렬식을 계산해야 하므로 계산량이 많아질 수 있다는 단점이 있다. 따라서 실제 계산에서는 가우스 소거법을 통한 행 사다리꼴 변환이 더 효율적으로 널리 사용된다. 그러나 행렬식 방법은 랭크의 개념을 이해하고, 특히 정사각행렬이 가역행렬일 조건(행렬식 ≠ 0)이 랭크가 최대임과 동치라는 점을 보여준다는 점에서 이론적 중요성을 가진다.

행렬의 랭크는 연립 일차 방정식의 해의 존재성과 유일성을 판별하는 데 핵심적인 역할을 한다. 계수 행렬 A와 확대 행렬 [A|b]의 랭크를 비교함으로써 해가 존재하는지, 존재한다면 유일한지 무수히 많은지를 알 수 있다.

구체적으로, n개의 미지수를 가진 연립방정식 Ax = b에 대해, 계수 행렬 A의 랭크와 확대 행렬 [A|b]의 랭크를 비교한다. 해가 존재하기 위한 필요충분조건은 두 행렬의 랭크가 같은 것이다, 즉 rank(A) = rank([A|b])이다. 만약 두 랭크가 다르다면, 방정식들은 서로 모순되어 해를 갖지 않는다.

해가 존재하는 경우, 그 해의 개수는 랭크와 미지수의 개수 n에 의해 결정된다. 만약 rank(A) = rank([A|b]) = n이면, 연립방정식은 유일한 해를 가진다. 반면, rank(A) = rank([A|b]) < n이면, 연립방정식은 무수히 많은 해를 가지며, 그 자유도는 n - rank(A)이다. 이는 랭크 정리에 의해 설명된다.

이러한 판별법은 가우스 소거법을 통한 행 사다리꼴 변환 과정에서 자연스럽게 확인할 수 있다. 소거 후 나타나는 모순된 방정식(예: 0 = c, c≠0)의 존재는 확대 행렬의 랭크가 더 크다는 것을 의미하며, 이는 해가 없음을 나타낸다.

역행렬이 존재할 필요충분조건은 정사각행렬의 랭크가 그 행렬의 크기와 같다는 것이다. 즉, n×n 정사각행렬 A에 대해 역행렬 A⁻¹이 존재하는 것은 rank(A) = n인 것과 동치이다. 이는 행렬 A가 가역행렬이기 위한 조건으로도 알려져 있다.

랭크가 최대가 아닌 경우, 즉 rank(A) < n이면 행렬 A는 특이행렬이 되며 역행렬을 가지지 않는다. 이는 행렬의 열벡터들(또는 행벡터들)이 선형독립하지 않고, 열공간의 차원이 n보다 작음을 의미한다. 결과적으로 연립일차방정식 Ax = b는 유일한 해를 보장받지 못하게 된다.

이 조건은 행렬식을 통해서도 확인할 수 있다. 정사각행렬 A의 랭크가 n이라는 것은 그 행렬식 det(A)의 값이 0이 아니라는 것과 동일한 명제이다. 따라서, det(A) ≠ 0은 역행렬 존재의 대표적인 판별법으로 널리 사용된다. 이러한 성질들은 크래머 법칙과 같은 해법이나 고윳값 문제를 다룰 때 중요한 기초가 된다.

널리티(nullity)는 주어진 행렬이나 선형 변환의 핵(kernel)의 차원을 가리킨다. 즉, 선형 변환 T: V → W에 대해, T(x) = 0을 만족하는 모든 벡터 x의 집합인 핵(Ker T)이 벡터 공간을 이룰 때, 그 벡터 공간의 차원이 널리티이다. 행렬 A에 대해서는 동차 선형 방정식 Ax = 0의 해 공간의 차원으로 이해할 수 있다.

널리티는 랭크와 밀접한 관계가 있다. 유한 차원 벡터 공간 V에서 선형 변환 T: V → W가 정의될 때, 랭크-널리티 정리가 성립한다. 이 정리에 따르면, V의 차원은 T의 랭크(상공간의 차원)와 T의 널리티(핵의 차원)의 합과 같다. 즉, dim(V) = rank(T) + nullity(T)이다. 이는 행렬 A에 대해서도 적용되어, A의 열 개수(n)는 A의 랭크와 A의 널리티의 합과 같다.

이 관계는 연립 일차 방정식의 해의 구조를 분석하는 데 핵심적이다. 예를 들어, 정사각 행렬 A가 가역 행렬일 필요충분조건은 널리티가 0이라는 점이다. 이는 동차 방정식 Ax = 0이 자명해만을 가짐을 의미한다. 또한, 비동차 연립방정식 Ax = b의 해가 존재할 때, 그 일반해는 하나의 특수해와 동차 방정식 Ax = 0의 해 공간(널 공간)의 모든 원소를 더한 형태로 표현된다. 따라서 널리티는 자유 변수의 개수, 즉 해 집합의 자유도를 결정한다.

널리티의 개념은 선형대수학을 넘어서 미분방정식, 제어 이론, 컴퓨터 과학의 알고리즘 분석 등 다양한 분야에서 응용된다. 특히 데이터의 선형 종속 관계나 시스템의 자유도를 분석할 때 중요한 도구가 된다.

행렬의 행공간은 그 행렬의 행벡터들로 생성된 벡터 공간이다. 마찬가지로, 열공간은 열벡터들로 생성된 벡터 공간을 의미한다. 이 두 공간의 차원은 항상 동일하며, 이 공통된 차원이 바로 행렬의 랭크이다. 즉, 행렬의 랭크는 행공간의 차원이자 동시에 열공간의 차원이다.

이러한 관계는 행렬의 기본 행 연산이 행공간 자체는 변화시키지 않으면서도 열공간의 차원은 보존한다는 사실에서 비롯된다. 가우스 소거법을 통해 행렬을 행 사다리꼴로 변환하면, 0이 아닌 행의 개수를 세어 행공간의 차원을 쉽게 알 수 있다. 이때, 이 0이 아닌 행들은 행공간의 기저를 이루며, 그 개수가 랭크가 된다.

랭크는 행렬이 표현하는 선형사상의 핵심적인 특성을 보여준다. 예를 들어, 행렬의 열공간은 그 선형사상의 치역과 일치한다. 따라서 랭크는 선형사상의 치역, 즉 상공간의 차원을 의미하기도 한다. 이는 랭크 정리를 통해 널리티와의 관계로 명확히 설명된다.

행공간과 열공간의 개념은 연립방정식의 해 존재성이나 역행렬 존재 조건을 판별하는 데 직접적으로 활용된다. 계수 행렬의 열공간이 상수 벡터를 포함하는지 여부가 해의 존재성을 결정하며, 정사각행렬의 경우 모든 열벡터가 선형독립이어야, 즉 열공간의 차원이 최대여야 역행렬이 존재한다.